Relasi

RELASI
Perhatikan pasangan terurut (a, b), dimana a  A dan b  B.
Maka {(a, b) / a  A dan b  B} dinamai relasi dari  a  A ke  b  B} dan ditulis A R B. Himpunan A dinamai wilayah ( domain) relasi, dan himpunan bagian dari pada himpunan B ( himpunan unsur yang bersifat a R b, dimana b  B) dinamai daerah jelajah (range) dari pada relasi. Himpunan B dinamai kodomain relasi.
Contoh :  Diberikan pada waktu kuliah

FUNGSI :
Fungsi : adalah kejadian khusus dari relasi
Contoh :

1.    RA xB = R : A = {(1,a), (1,c),(2,a),(2,c),(3,c)} Relasi
2.    RA xB = R : A = {(1,c),(2,c),(3,c)} Fungsi

3.    RA xB = R : A = {(1,a),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,b)} Relasi
4.    RA xB = R : A = {(1,a)(2,c),(3,b)} Fungsi

5.    RA xB = R : A = {(1,a),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,b)}Relasi
6.    RA xB = R : A = {(1,a)(2,b),(3,b)} Fungsi

Kalkulus - Relasi dan Fungsi
 Relasi dan Fungsi
PRODUK  CARTESIUS ( lengkapnya Renatus Cartesius nama latin dri Rene Deacartes )
Definisi :
Jika A dan B dua himpunan, maka produk cartesius dua himpunan tersebut adalah himpunan semua pasangan terurut (x, y) dengan x  A dan y  B, yang
ditulis A x B = {(x, y) / x  A dan y  B}

A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}
A x B = {(x,y)/ x  A dan y  B}
1.    A x B = {(1,a), (1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}










Relasi
RAxB = ARB = bagian dari (subset) A x B disebut relasi A ke B

  RAxB  = R : A ke B = R : A =
2.    ARB = {(1,a), (1,b),(1,c),(2,b),(2,c),(3,a),(3,c)} , 2 1
3.    RAxB = ARB = {(1,a), (1,c),(2,a),(2,c),(3,c)}, 3 1
4.    RAxB = ARB = {(1,a), (1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,b)}, 4 1

A = { 1, 2, 3 } domain dari relasi A
B =  { a, b, c } codomain dari A
Daerah hasil bagian dari no. 2 dan no.4 adalah B ={a, b, c}, sedangkan untuk no.3 adalah  K = {a,c}


RELASI
Perhatikan pasangan terurut (a, b), dimana a  A dan b  B.
Maka {(a, b) / a  A dan b  B} dinamai relasi dari  a  A ke  b  B} dan ditulis A R B. Himpunan A dinamai wilayah ( domain) relasi, dan himpunan bagian dari pada himpunan B ( himpunan unsur yang bersifat a R b, dimana b  B) dinamai daerah jelajah (range) dari pada relasi. Himpunan B dinamai kodomain relasi.
Contoh :  Diberikan pada waktu kuliah

FUNGSI :
Fungsi : adalah kejadian khusus dari relasi
Contoh :

1.    RA xB = R : A = {(1,a), (1,c),(2,a),(2,c),(3,c)} Relasi
2.    RA xB = R : A = {(1,c),(2,c),(3,c)} Fungsi

3.    RA xB = R : A = {(1,a),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,b)} Relasi
4.    RA xB = R : A = {(1,a)(2,c),(3,b)} Fungsi

5.    RA xB = R : A = {(1,a),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,b)}Relasi
6.    RA xB = R : A = {(1,a)(2,b),(3,b)} Fungsi


1. Relasi Invers
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan R-1 adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb: R-1 = {(b,a): (a,b) R}
contoh:
A = {1,2,3}
B = {x,y}
R = {(1,x), (1,y), (3,x)} relasi dari A ke B
R-1= {(x,1), (y,1), (x,3)} relasi invers dari B ke A


Sumber:
http://www.ittelkom.ac.id/admisi/elearning/prog3.php?proses=1&kd=Mat-011301&bab=Fungsi%20Komposisi%20dan%20Fungsi%20In&judul=Matematika&rincian=Relasi%20dan%20Fungsi&kd_judul=Mat-01&kode_bab=13&kode_sub=01
http://www.slideshare.net/taqwanuddin/makalah-relasi


Jika fungsi f: A  B dilanjutkan fungsi g: B → C maka dapat dinyatakan dengan (g o f) : A → C

Rumus :
(i) (fog)(x) = f(g(x))
(ii) (gof)(x) = g(f(x))
1. Pengertian Fungsi Komposisi
Misalkan fungsi f dirumuskan dengan f(x) = x+ 1 dan g dirumuskan dengan g(x) = x2.
Dengan menggunakan rumus f(x) = x + 1, untuk
f(1) = 1 + 1®x = 1
f(2) = 2 + 1®x = 2
f(t) = t + 1®x = t
jika x diganti dengan g(x), diperoleh
f(g(x)) = g(x) + 1
= x2 + 1
Misalkan fungsi h(x) = f(g(x)) = x2 + 1.
Fungsi h(x) yang diperoleh dengan cara di atas, dinamakan fungsi komposisi g dan f. fungsi ini ditulis dengan f o g, dibaca “ f bundaran g”.
Dengan cara yang serupa, diperoleh
g(f(x) = g( x + 1 )2
= (x + 1)2
Fungsi g(f(x)) selanjutnya ditulis sebagai (g o f)(x)
C dengan g(b) = c. komposisi fungsi f dan g, ditulis g o f (dibaca : g bundara f ) adalah suatu fungsi yang ditentukan dengan aturan® B, dengan f(a) = b dan fungsi g : B ®Misalkan fungsi f : A
(g o f)(a) = g(f(a))
Pengerjaannya dilakukan pada fungsi f terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan fungsi g. hal ini dapat dituliskan (g o f)(a) = g(f(a)).
Contoh :
Diketahui f(x) = 3x + 5 dan g(x) = 2x – 7. Tentukan
a. (f o g )(3)
b. (g o f )(-2)
Jawab :
1) Ada dua cara untuk menentukan nilai dari suatu fungsi komposisi.
a. Cara pertama
Dengan menentukan fungsi komposisinya terlebih dahulu
(f o g )(x) = f(g(x))
= f(2x – 7)
= 3(2x – 7) + 5
= 6x – 21 + 5
= 6x – 16
Untuk memperoleh nilai (f o g )(3), subtitusikan nilai x = 3 ke (f o g )(x), yaitu (f o g )(3) = 6(3) – 16 = 2
Jadi (f o g )(3) = 2
b. Cara kedua
Kita ketahui bahwa (f o g )(3) = 2
Untuk itu, terlebih dahulu kita cari g(3), yaitu g(3) = 2(3) – 7 = -1
Jadi, (f o g )(3) =f(g(3))
= f(-1)
= 3(-1) + 5
= 2

Beberapa Sifat Relasi

Relasi yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat. Sifat-sifat tersebut antara lain :

1. Refleksif (reflexive)

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A. Dengan kata lain, suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikian sehingga (a, a) ∉ R.

Contoh :

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R adalah relasi ‘≤’ yang didefinisikan pada himpunan A, maka

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

Terlihat bahwa (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) merupakan unsur dari R. Dengan demikian R dinamakan bersifat refleksif.

Contoh :

Misalkan A = {2, 3, 4, 8, 9, 15}.

Jika kita definisikan relasi R pada himpunan A dengan aturan :

(a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b

Perhatikan bahwa (4, 4) ∉ R .

Jadi, jelas bahwa R tidak bersifat refleksif.

Sifat refleksif memberi beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu :

• Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang unsur diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,

• Relasi yang bersifat refleksif jika disajikan dalam bentuk graf berarah maka pada graf tersebut senantiasa ditemukan loop setiap simpulnya.

2. Simetri (symmetric) dan Anti Simetri (antisymmetric)

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat simetri jika (a, b) ∈ R, untuk setiap a, b ∈ A, maka (b, a) ∈ R. Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak simetri jika (a, b) ∈ R sementara itu (b, a) ∉ R.

Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan anti simetri jika untuk setiap a, b ∈ A, (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R berlaku hanya jika a = b. Perhatikanlah bahwa istilah simetri dan anti simetri tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a ≠ b.

Contoh :

Misalkan R merupakan relasi pada sebuah himpunan Riil, yang dinyatakan oleh :

a R b jika dan hanya jika a – b ∈ Z.

Periksa apakah relasi R bersifat simetri !

Misalkan a R b maka (a – b) ∈ Z, Sementara itu jelas bahwa (b – a) ∈ Z.

Dengan demikian R bersifat simetri.

Contoh :

Tunjukan bahwa relasi ‘≤’ merupakan pada himpunan Z. bersifat anti simetri

Jelas bahwa jika a ≤ b dan b ≤ a berarti a = b.

Jadi relasi ‘≤’ bersifat anti simetri.

Contoh :

Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat asli N merupakan contoh relasi yang tidak simetri karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sementara itu, relasi “habis membagi” merupakan relasi yang anti simetri karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.

Contoh :

Misalkan relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } maka relasi R merupakan relasi yang simetri sekaligus relasi yang anti simetri.

Sifat simetri dan anti simetri memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian berbentuk matriks maupun graf, yaitu :

• Relasi yang bersifat simetri mempunyai matriks yang unsur-unsur di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-unsurdi atas diagonal utama, atau mij = mji = 1, untuk i = 1, 2, …, n dan j = 1, 2, …, n adalah :

Relasi yang bersifat simetri, jika disajikan dalam bentuk graf berarah mempunyai ciri bahwa jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

• Relasi yang bersifat anti simetri mempunyai matriks yang unsur mempunyai sifat yaitu jika mij = 1 dengan i ≠ j, maka mji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasi anti simetri adalah jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bila i ≠ j :

Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat anti simetri mempunyai ciri bahwa tidak akan pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda.

Misalkan, R merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari himpunan B ke himpunan A yang didefinisikan oleh :

R–1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R }

Contoh :

Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}.

Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q yaitu :

(p, q) ∈ R jika dan hanya jika p habis membagi q

maka kita peroleh :

R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)

R–1 merupakan invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P yang berbentuk :

(q, p) ∈ R–1 jika q adalah kelipatan dari p

sehingga diperoleh :

R–1 = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }

Jika M adalah matriks yang menyajikan suatu relasi R,

maka matriks yang merepresentasikan relasi R–1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M,

3. Transitif (transitive)

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat transitif jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.

Contoh :

Misalkan A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, dan relasi R didefinisikan oleh :

a R b jika dan hanya jikan a membagi b, dimana a, b ∈ A,


Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka :

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}

Ketika (2, 4) ∈ R dan (4, 8 ) ∈ R terlihat bahwa (2, 8 ) ∈ R.

Dengan demikian R bersifat transitif.

Contoh :

R merupakan relasi pada himpunan bilangan asli N yang didefinisikan oleh :

R : a + b = 5, a, b ∈ A,

Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka :

R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) }

Perhatika bawa (1, 4) ∈ R dan (4, 1) ∈ R , tetapi (1, 1) ∉ R.

Dengan demikian R tidak bersifat transitif.

Sifat transitif memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu : sifat transitif pada graf berarah ditunjukkan oleh :

Jika ada busur dari a ke b dan busur dari b ke c, maka juga terdapat busur

berarah dari a ke c.

Pada saat menyajikan suatu relasi transitif dalam bentuk matriks, relasi transitif tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya.