KONSEP DAN NOTASI DASAR PROPOSISI

Proposisi

Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition).

Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value).

Contoh berikut ini dapat mengilustrasikan kalimat yang merupakan proposisi dan mana yang bukan.

Contoh 1.1

a)    6 adalah bilangan genap

b)    Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama

c)    2 + 2 = 4

d)    Ibukota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang

e)    12 ≥ 19

f)     Kemarin hari hujan

g)    Suhu di permukaan laut adalah 21 derajat celcius

h)   Pemuda itu tinggi

i)     Kehidupan hanya ada di Planet Bumi

Semuanya merupakan proposisi. Proposisi a, b, c bernilai benar, tetapi proposisi d salah karena ibukota Jawa Barat seharusnya Bandung dan proposisi e bernilai salah karena seharusnya 12 ≤ 19. Proposisi f sampai I memang tidak dapat langsung ditetapkan kebenarannya, namun satu hal yang pasti, proposisi-proposisi tersebut tidak mungkin benar dan salah sekaligus. Kita bisa menetapkan nilai proposisi tersebut benar atau salah. Misalnya, proposisi f bias kita andaikan benar (hari kemarin memang hujan) atau salah (hari kemarin tidak hujan). Demikian pula halnya untuk proposisi g dan h. Proposisi i bias benar atau salah, karena sampai saat ini belum ada ilmuwan yang dapat memastikan kebenarannya.

Contoh 1.2

a)    Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?

b)    Serahkan uangmu sekarang!

c)    x + 3 = 8

d)    x > 3

bukan proposisi. Kalimat a adalah kalimat Tanya, sedangkan kalimat b adalah kalimat perintah, keduanya tidak mempunyai nilai kebenaran. Dari contoh 1.1 dan 1.2 di atas, dapat disimpulkan bahwa proposisi selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan sebagai kalimat Tanya maupun kalimat perintah. Kalimat c dan d bukan proposisi karena kedua kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar maupun salah sebab keduanya mengandung peubah (variable) yang tidak dispesifikasikan nilainya. Tetapi kalimat

“Untuk sembarang bilangan bulat n ≥ 0, maka 2n adalah bilangan genap”

Bidang logika yang membahas proposisi dinamakan kalkulus proposisi(propositional calculus) atau logika proposisi (propositional logic).

Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil sepertip, q, r, …. misalnya,

p: 6 adalah bilangan genap,

Untuk mendefinisikan p sebagai proposisi “6 adalah bilangan genap”. Begitu juga untuk

q : soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.

r : 2 + 2 = 4.

dan sebagainya.

Mengkombinasikan Proposisi

Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebutoperator logika. Operator logika dasar yang digunakan  adalah dan (and),atau (or), dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator binerkarena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan  operator ketiga dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.

Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakanproposisi majemuk (compound proposition). proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Ketiganyadidefinisikan sebagai berikut:

DEFINISI. Misalkan  dan adalah proposisi. Konjungsi (conjunction) dan , dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi

p dan

Disjungsi (disjunction)  dan , dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi

p atau

Ingkaran atau (negation) dari , dinyatakan dengan p, adalah proposisi tidak p

Catatan:

1. Beberapa literatur menggunakan notasi “p”, ””, atau ”not p” untuk menyatakan lingkaran.
2. Kata “tidak” dapat dituliskan di tengah pernyataan. Jika kata “tidak” diberikan di awal pernyataan maka ia biasanya disambungkan dengan kata “benar” menjadi “tidak benar”. Kata “tidak” dapat juga diganti dengan “bukan” bergantung dengan rasa bahasa yang tepat untuk pernyataan tersebut.

Berikut contoh-contoh proposisi majemuk dan notasi simboliknya. Ekspresi proposisi majemuk dalam notasi simbolik disebut juga ekspresi logika.

Contoh 1.2

Diketahui proposisi-proposisi berikut:

p: Hari ini hujan

q : Murid-murid diliburkan dari sekolah

Maka

pq : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah

pq : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah

p : Tidak benar hari ini hujan (atau dalam kalimat lain yang lebih lazim: Hari ini tidak hujan)

Tabel Kebenaran

Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika.

1. Misalkan p dan q adalah proposisi.

• Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah
• Disjungsi p v q bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar
• Negasi p, yaitu ~p, bernilai benar jika p salah, dan sebaliknya

Misalkan

p: 17 adalah bilangan prima

q: bilangan prima selalu ganjil

jelas bahwa p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi

p ^ q: 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil adalah salah.

Satu cara yang praktis untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah menggunakan tabel kebenaran. Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomik. Tabel 1.1 menunjukkan tabel kebenaran untuk konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Pada tabel tersebut, T=true(benar), dan F=false(salah).

Tabel 1.1 Tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, dan ingkaran

p	q	p ^ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

p	q	p  v q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

p	q
T	F
F	T

Contoh soal: Jika p, q, radalah proposisi. Bentuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika

(p ^ q) v (~q ^ r)

Penyelesaian:

Ada 3 buah proposisi atomic di dalam ekspresi logika dan setiap proposisi hanya mempunyai 2 kemungkinan nilai, sehingga jumlah kombinasi dari semu proposisi tersebut adalah  buah. Tabel kebenaran dari proposisi (p ^ q) v (~q ^ r) ditunjukkan pada tabel 1.2.

Tabel 1.2 tabel kebenaran proposisi (p ^ q) v (~q ^ r)

p	q	r	p ^ q	~q	~q ^ r	(p ^ q) v (~q ^ r)
T	T	T	T	F	F	T
T	T	F	T	F	F	T
T	F	T	F	T	T	T
T	F	F	F	T	F	F
F	T	T	F	F	F	F
F	T	F	F	F	F	F
F	F	T	F	T	T	T
F	F	F	F	T	F	F

Proposisi majemuk dapat selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya, atau selalu bernilai salah untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya. Jadi, sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus, sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.

Yang dimaksud dengan “semua kasus” di dalam definisi si atas adalah semua kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya. Proposisi tautologi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat True. Proposisi kontradiksi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat False.

Hukum – Hukum Proposisi

Proposisi, dalam kerangka hubungan ekivalen logika, memenuhi sifat-sifat yang dinyatakan dalam sejumlah hukum pada tabel di bawah.Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada system bilangan riil, misalnya a(b + c) = ab + ac, yaitu hukum distributif, sehingga kadang-kadang hukum logika proposisi dinamakan juga hukum-hukum aljabar proposisi.

1. Hukum identitas i.            p v F ó p ii.            p ^ T ó p	2. Hukum null dominasi i.            p ^ F ó F ii.            p v T ó T
3. Hukum negasi i.            p v ~p ó T ii.            p ^ ~p ó F	Hukum idempotent i.            p v p ó p ii.            p ^ p ó p
5. Hukum involusi ~(~p) ó p	Hukum penyerapan i.            p v (p ^ q) ó p ii.            p ^ (p v q) ó p
7. Hukum komutatif i.            p v q ó q v p ii.            p ^ q ó q ^ p	Hukum assosiatif i.            p v (q v r) ó (p v q) v r ii.            p ^ (q ^ r) ó (p ^ q) ^ r
9. Hukum distributif i.            p v (q ^ r) ó (p v q) ^ (p v r) ii.            p ^ (q v r) ó (p ^ q) v (p ^ r)	10.  Hikum de morgan i.            ~(p ^ q) ó ~p v ~q ii.            ~(p v q) ó ~p ^ ~q

Hukum-hukum logika di atas bermanfaat untuk membuktikan ke-ekivalenan dua buah proposisi. Selain menggunakan tabel kebenaran, ke-ekivalenan dapat dibuktikan dengan hukum-hukum logika, khususnya pada proposisi majemuk yang mempunyai banyak proposisi atomik. Bila suatu proposisi majemuk mempunyai n buah proposisi atomic, maka table kebenarannya terdiri dari  baris. Untuk n yang besar jelas tidak praktis menggunakan tabel kebenaran, misalnya untuk n=10 terdapat  baris di dalam tabel kebenarannya.

Implikasi

Adalah suatu pernyataan majemuk p dan q yang digabung dengan memakai kata hubung logika “jika…maka…”.

Implikasi suatu pernyataan dilambangkan dengan p→q. Dibaca :

1.  Jika p maka q
2.  p berimplikasi q
3.  q hanya jika p
4.  p syarat cukup untuk q
5.  q syarat perlu untuk p

Pada  implikasi, p disebut anteseden (hipotesis), q disebut konklusi (kesimpulan).

Nilai kebenaran: untuk p→q bernilai salah hanya berlaku untuk p pernyataan bernilai benar dan q pernyataan bernilai salah.

p	q	p→q≡¬pVq
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Implikasi Logis

“jika Andi rajin belajar maka Andi naik kelas”

Jika pada kenyataannya Andi rajin belajar maka sebagai konskuensi logis dari pernyataan di atas pasti Andi naik kelas.

Misal     p: Andi rajin belajar

                        q: Andi naik kelas

                                maka ((p→q)∧p)→q, nilainya akan selalu benar.

p	q	p→q	((p→q)∧p)	((p→q)∧p)→q
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

TAUTOLOGI

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1]

Contoh:

Lihat pada argumen berikut:

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.

Diubah ke variabel proposional:

A  Tono pergi kuliah

B  Tini pergi kuliah

C  Siska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

(1)   A → B                                    (Premis)

(2)   C → B                         (premis)

(3) (A V C) → B              (kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B        

A	B	C	A → B	C → B	(A → B) ʌ (C → B)	A V C	(A V C) → B
B B B B S S S S	B B S S B B S S	B S B S B S B S	B B S S B B B B	B B S B B B S B	B B S S B B S B	B B B B B S B S	B B S S B B S B	B B B B B B BB

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :

 ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)[2].

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:

1.  (p ʌ  ~q)  p

Pembahasan:

p	q	~q	(p ʌ ~q)	(p ʌ ~q)  p
B B S S	B S B S	S B S B	S B S S	B B B B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q)  p selalu benar.

2.  [(p  q) ʌ p] p  q

Pembahasan:

p	q	(p  q)	(p  q) ʌ p	[(p  q) ʌ p] p  q
B B S S	B S B S	B S B B	B S S S	B B B B

(1)                       (2)                   (3)                      (4)                                   (5)

Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk           [(p  q) ʌ p] p  q selalu benar

Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.

Contoh:

1.  (p ʌ q)  q

Penyelesaian:

(p ʌ q)  q  ~(p ʌ q) v q

~p v ~q v q

 ~p v T

 T ………….(Tautologi)

Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari (p ʌ q)  q adalah tautologi karena hasilnya T (true) atau benar.

Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk  (p ʌ q)  q yaitu:

P	q	(p ʌ q)	(p ʌ q)  q
B B S S	B S B S	B S S S	B B B T

Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q)  q merupakan Tautologi.

1.  q  (p v q)

penyelesaian:

q  (p v q)     ~q v (p v q)

 ~q v (q v p)

 T v p

  T …………(Tautologi)

1.    KONTRADIKSI

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F  atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh dari Kontradiksi:

1.  (A ʌ ~A)

Pembahasan:

A	~A	(A ʌ ~A)
B S	S B	S S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.

2.  P ʌ (~p ʌ q)

Pembahasan:

p	q	~p	(~p ʌ q)	P ʌ (~p ʌ q)
B B S S	B S B S	S S B B	S S B S	S S S S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).

1.    Ekuivalensi Logika

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “ dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.

Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika:

1.  Hukum komutatif:

p ʌ q  q ʌ p

p v q q v p

2.  Hukum asosiatif:

(p ʌ q) ʌ r  p ʌ (q ʌ r)

(p v q) v r  p v (q v r)

3.  Hukum distributif:

p ʌ (q v r)  (p ʌ q) v (p ʌ r)

p v (q ʌ r)  (p v q) ʌ (p v r)

4.  Hukum identitas:

p ʌ T  p

p v F  p

5.  Hukum ikatan (dominasi):

P v T  T

P v F  F

6.  Hukum negasi:

P v ~p  T

P ʌ ~p  F

7.  Hukum negasi ganda (involusi):

~(~p)  p

8.  Hukum idempoten:

P ʌ p  p

p v p  p

9.  Hukum de morgan:

~( p ʌ q)  ~p v ~q

~(p v q)  ~p ʌ ~q

1.   Hukum penyerapan (absorpsi):

p v (P ʌ q)  p

P ʌ (p v q)  p

1.  Hukum T dan F:

~T  F

~F  T

2.  Hukum implikasi ke and/or:

P  q  ~p v q

Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.

Dengan menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan, seperti contoh berikut:

1.  Buktikan ekuivalensi berikut: ~(p v ~q) v (~p ʌ ~q)  ~p

Jawab:

~(p v ~q) v (~p ʌ ~q)  (~p ʌ q) v (~p ʌ ~q)

                                     ~p ʌ (q v ~q)

                                     ~p ʌ T

                                     ~p ………..(terbukti)

2.  Tunjukkan bahwa:  ~(p v q)  (~p ʌ ~q)

Tabel kebenaran ~(p v q) dan (~p ʌ ~q) yaitu:

p	q	~p	~q	p v q	~(p v q)	(~p ʌ ~q)
B B S S	B S B S	S S B B	S B S B	B B B S	S S S B	S S S B

(1)                    (2)             (3)           (4)             (5)                   (6)                        (7)  

Dari tabel diatas pada kolom ke(6) dan (7), jelas bahwa ~(p v q)  (~p ʌ ~q).

Jadi, ~(p v q)  (~p ʌ ~q). 

 Sumber :

http://dedekyohana93.blogspot.com/2012/11/tautologi-kontradiksi-dan-ekuivalensi_4667.html
Munir, Rinaldi, Matematika Diskrit, Informatika, 2005