Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu :
1.Mendaftarkan semua anggotanya.
Contoh:
- A = {a,e,i,o,u}
- B = {2,3,5,7,11,13,17,19}
2. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya
Contoh:
- A = Himpunan vokal dalam abjad latin
- B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20
3. Menyatakan sifat dengan pola
Contoh:
- P = {0,2,4,8,10,…,48}
- Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…}
Awas dalam kasus: R = { 2,3,5,7,…,19}. Penulisan himpunan seperti ini bukan merupakan well-defined karena memunculkan ambigu, yaitu R dapat diartikan sebagai himpunan bilangan ganjil yang lebih besar dari 1 dan kurang dari 20. Sementara itu R dapat diartikan pula sebagai himpunan bilangan prima yang kurang dari 20. Oleh karena itu pendefinisian himpunan dengan menyatakan pola seperti ini harus sangat hati-hati agar tidak menimbulkan tafsiran lain.
4. Menggunakan notasi pembentuk himpunan
Contoh:
- P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}
(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})
- Q = { t | t biangan asli}
(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}
- R = { s | s² -1=0, s bilangan real}
(Maksudnya R = {-1,1})
Himpunan Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan.
Himpunan semesta dilambangkan dengan S atau U.
Contoh :
Kalau kita membahas mengenai 1, ½ , -2, -½,… maka semesta pembicaraan kita adalah bilangan real. Jadi himpunan semesta yang dimaksud adalah R. Apakah hanya R saja? Jawabannya tidak. Tergantung kita mau membatasi pembicaraanya. Pada contoh di atas bisa saja dikatakan semestanya adalah C (himpunan bilangan kompleks). Namun kita tidak boleh mengambil Z (himpunan bilangan bulat) sebagai semesta pembicaraan. (Mengapa?).
Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Dilambangkan dengan O atau { }
Contoh:
- Himpunan bilangan bulat yang ganjil
- Himpunan bilangan real
- Himpunan orang yang tingginya 100 meter
Himpunan Bagian
Diberikan himpunan A dan B. Jika setiap anggota A merupakan anggota B maka dikatakan A merupakan himpunan bagian (subset) dari B atau dikatakan B memuat A dan dilambangkan dengan AcB.
Jadi AcB jika dan hanya jika
xEA => xEB
Jika ada anggota dari A yang bukan merupakan anggota B maka A bukan bukan himpunan
bagian dari B, dilambangkan dengan AcB.
Contoh:
- A = {1,3,5} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka AcB.
- C = {a,b,c,1,2} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka CcB, karena ada anggota dari C yang bukan merupakan anggota B, yaitu a. (Pengertian “ada” berarti terdapat satu anggota C yang bukan merupakan anggota B, sudah cukup)
- Suatu himpunan pasti merupakan subset dirinya sendiri. Jadi HcH.
Bukti:
Ambil sebarang hEH, maka jelas hEH. Jadi HcH.
- Himpunan kosong (O) merupakan himpunan bagian dari semua himpunan.
Bukti:
Kalimat “xEA => xEB” pada pengertian himpunan bagian (lihat definisi di atas), selalu bernilai benar jika diambil A = O dan untuk sebarang himpunan B. Hal ini disebabkan syarat cukupnya selalu tidak terpenuhi. Sama saja dengan kita mengatakan “jika bulan bisa ngomong, maka dia tak akan bohong”. Kalimat ini selalu bernilai benar karena syarat cukupnya
yaitu “bulan bisa ngomong” selalu tidak terpenuhi. Lebih lanjut mengenai hal ini akan dibicarakan dalam pembahasan mengenai LOGIKA.
Operasi Himpunan
Gabungan (Union)
Diberikan himpunan A dan B. Gabungan himpunan A dan B ditulis dengan AuB adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A atau berada di B. Jadi AuB = { x | xEA atau xE B }
Contoh:
A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}. Maka AuB = {a,b,c,d,e,f,1,2}
Irisan (Intersection)
Diberikan himpunan A dan B. Irisan himpunan A dan B ditulis dengan AnB adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A dan juga berada di B.
Jadi AnB = { x | x E A dan x E B }
Contoh:
A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}. Maka AnB = {c}
P = {a,b,c,1,2} dan Q = {d,e,f}. Maka AnB = O
Komplemen
Diberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A ditulis dengan “ Ac “ adalah himpunan yang anggotanya berada dalam hiompunan semesta tetapi bukan berada di A. Jadi Ac = { x | xES, xE A }
Contoh:
Diberikan semesta himpunan bilangan asli. Jika A = {0,2,4,6,…} maka Ac = {1,3,5,…}
Sifat-sifat operasi
Komutatif
Diberikan himpunan A dan B. Maka berlaku AuB = BuA dan juga AnB = BnA
Asosiatif
Diberikan himpunan A, B dan C.
Maka berlaku (AuB)uC = Au(BuC) dan juga (AnB)nC= An(BnC).
Idempoten
Diberikan suatu himpunan A. Maka berlaku AuA=A dan juga AnA=A
Identitas
Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka AuS=A dan juga AnS=A
Distributif
Diberikan himpunan A,B dan C.
Maka Au(BnC) = (AuB)n(AuC) dan juga An(BuC)=(AnB)u(AnC)
Komplementer
Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka AuAc = S dan AnAc =O
Dalil De Morgan
Diberikan himpunan A dan B. Maka (AuB) c = Acn Bc dan (AnB) c = Acu Bc
SKEMA HIMPUNAN BILANGAN
Himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.
N = {1,2,3,4,5,6,......}
Himpunan bilangan prima
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.
P = {2,3,5,7,11,13,....}
Himpunan bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.
C = {0,1,2,3,4,5,6,....}
Himpunan bilangan bulat
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
Himpunan bilangan rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
Himpunan bilangan irasional
Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
contoh: log 2, e, Ö7
Himpunan bilangan riil
Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.
contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
Himpunan bilangan imajiner
Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1
contoh: i, 4i, 5i
Himpunan bilangan kompleks
Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.
contoh: 2-3i, 8+2
http://matamatakak.blogspot.com/2013/05/himpunan-bilangan-bulat-dan-rill-dan.html
HIMPUNAN BILANGAN RIIL
Matematika erat sekali kaitannya dengan bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan tersebut dapat dibedakan berdasarkan definisi tertentu sehingga bilangan-bilangan tersebut dapat dikelompokkan menjadi suatu himpunan bilangan tertentu pula. Misalnya 1, 2, 3, … dan seterusnya dapat dikelompokkan ke dalam himpunan bilangan asli. Himpunan bilangan asli tersebut dapat ditulis dengan notasi A = {1, 2 , 3, 4, 5, …}.
1. Himpunan Bilangan Asli
Bilangan asli merupakan bilangan yang sering kita gunakan, seperti untuk menghitung banyaknya pengunjung dalam suatu pertunjukan seni atau banyaknya tamu yang menginap di hotel tertentu. Bilangan asli sering pula disebut sebagai bilangan natural karena secara alamiah kita mulai menghitung dari angka 1, 2, 3, dan seterusnya. Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu himpunan bilangan yang disebut sebagai himpunan bilangan asli. Dengan demikian, himpunan bilangan asli didefinisikan sebagai himpunan bilangan yang diawali dengan angka 1 dan bertambah satu-satu. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf A dan anggota himpunan dari bilangan asli dinyatakan sebagai berikut:
A = {1, 2, 3, 4, …}.
2. Himpunan Bilangan Cacah
Dalam sebuah survei mengenai hobi siswa di kelas tertentu, diketahui bahwa banyak siswa yang hobi membaca 15 orang, hobi jalan-jalan sebanyak 16 orang, hobi olahraga sebanyak 9 orang dan tidak ada siswa yang memilih hobi menari. Untuk menyatakan banyaknya anggota yang tidak memiliki hobi menari tersebut, digunakan bilangan 0. Gabungan antara himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan 0 ini disebut sebagai himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf C dan anggota himpunan dari bilangan cacah dinyatakan sebagai berikut:
C = {0, 1, 2, 3, 4,…}.
3. Himpunan Bilangan Bulat
Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf B dan anggota himpunan dari bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut:
B = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.
4. Himpunan Bilangan Rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk p/q, dengan p, q ∈ B dan q ≠ 0. Bilangan p disebut pembilang dan q disebut penyebut. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q. Himpunan dari bilangan rasional dinyatakan sebagai berikut:
Q= {p/ql p,q∈ B q ≠0}
5. Himpunan Bilangan Irasional
Himpunan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk p/q dengan p, q ∈ B dan q ≠ 0. Contoh bilangan irasional adalah bilangan desimal yang tidak berulang (tidak berpola), misalnya: √2 , π, e, log 2. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf I.
Himpunan bilangan riil adalah gabungan antara himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional, yang dilambangkan dengan huruf R.
http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_riil
http://matematika14.blogspot.com/2010/01/macam-macam-himpunan-bilangan.html
Kalkulus - Relasi dan Fungsi
Relasi dan Fungsi
PRODUK CARTESIUS ( lengkapnya Renatus Cartesius nama latin dri Rene Deacartes )
Definisi :
Jika A dan B dua himpunan, maka produk cartesius dua himpunan tersebut adalah himpunan semua pasangan terurut (x, y) dengan x A dan y B, yang
ditulis A x B = {(x, y) / x A dan y B}
A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}
A x B = {(x,y)/ x A dan y B}
1. A x B = {(1,a), (1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}
Relasi
RAxB = ARB = bagian dari (subset) A x B disebut relasi A ke B
RAxB = R : A ke B = R : A =
2. ARB = {(1,a), (1,b),(1,c),(2,b),(2,c),(3,a),(3,c)} , 2 1
3. RAxB = ARB = {(1,a), (1,c),(2,a),(2,c),(3,c)}, 3 1
4. RAxB = ARB = {(1,a), (1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,b)}, 4 1
A = { 1, 2, 3 } domain dari relasi A
B = { a, b, c } codomain dari A
Daerah hasil bagian dari no. 2 dan no.4 adalah B ={a, b, c}, sedangkan untuk no.3 adalah K = {a,c}
No comments:
Post a Comment